盱眙中小学数学教学中如何解释“平方根”与“算术平方根”的区别？

教育顾问

在盱眙中小学数学教学中，解释“平方根”与“算术平方根”的区别时，可遵循以下清晰易懂的步骤，结合具体例子帮助学生理解：

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1. 从定义出发

• 平方根（Square Root）
  定义：若一个数 xx 的平方等于 aa（即 x2=ax2=a），则 xx 是 aa 的平方根。
  关键点：
  
  
  • 一个正数 aa 有两个平方根，互为相反数，记作 ±a±a
    
    

• ​。
  
• 例如：44 的平方根是 +2+2 和 −2−2（因为 22=422=4 且 (−2)2=4(−2)2=4）。
  
  

算术平方根（Principal Square Root）
定义：正数 aa 的非负平方根，记作 aa
​。
关键点：

• 仅取正值部分。例如，44 的算术平方根是 22（不包含 −2−2）。
  
• 规定：0=00
  
  

• 
  
  • ​=0。
    
    

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2. 符号与表达对比

• 符号差异：
  
  
  • 平方根：用 ±a±a
    
    

​ 表示两个根（如 ±9=±3±9
​=±3）。
算术平方根：用 aa
​ 表示非负根（如 9=39

• 
  
  • ​=3）。
    
    
• 语言描述：
  
  
  • 提问“9的平方根是什么？”答案应为“±3±3”。
    
  • 提问“9的算术平方根是什么？”答案仅为“33”。
    
    

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3. 通过例子强化理解

• 例题1：求 16 的平方根与算术平方根。
  
  
  • 平方根：±16平方根=±4±16开平方​=±4。
    
    

算术平方根：16=416

• ​=4。
  
  

例题2：解方程 x2=25x2=25。

• 解是平方根：x=±25平方根=±5x=±25
  
  

​=±5。
但若问题问“2525

• 
  
  • ​ 的值”，则答案是 55。
    
    

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4. 常见误区提醒

• 误区1：认为 aa
  
  

​ 代表两个值。
纠正：强调 aa
​ 是算术平方根，结果非负。
误区2：忽略负数平方根。
纠正：在解方程 x2=ax2=a 时，必须写出 ±a±a

• ​。
  
  

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5. 实际应用中的区别

• 算术平方根：用于实际场景中需要非负解的情况（如长度、面积）。
  
• 平方根：用于数学理论或方程求解（如 x2=ax2=a 的解）。
  
  

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教学建议

• 可视化工具：用数轴展示正数的两个平方根，标出算术平方根的位置。
  
• 对比练习：设计成对题目，分别求平方根和算术平方根，强化区别。
  
• 生活类比：如“房间面积16平方米，边长是算术平方根（4米），但平方根包括±4，而边长不能为负”。
  
  

通过以上方法，学生能清晰理解两者区别，避免混淆。